Die optimale Flugbahn zur Einmündung in den Erdorbit der Saturnrakete
Es dürfte klar sein, dass ein Senkrechtstart für die Saturnrakete suboptimal ist, weil der Geschwindigkeitsverlust durch die Erdgravitation maximal ist. Denn es gilt
∆vg= t∑ *g*, (1)
Wobei für t∑ = 720 s und g*= 9,5 m/s² gilt. Anderseits muss die Einmündung in den Erdorbit über eine Kurve mit einem Winkel α erfolgen. Die Frage lautet nun, wie diese Flugbahn konkret aussehen müsste bzw. zu charakterisieren wäre. Die Startphase kann sicherlich trivialerweise nur vertikal erfolgen, insbesondere unter dem Aspekt des Luftwiderstandes. Bis zu einer Höhe von 45 km muss daher die Startphase quasi mit einer minimalen Abweichung von der Vertikalen senkrecht erfolgen, weil sich sonst anderseits der Luftwiderstand gravierend erhöhen würde. Ab dieser Grenze, wo der Luftwiderstand kaum noch eine praktische Rolle spielt und eine Bedeutung hat, muss dann der Winkel für den Einschuss in den Erdorbit allmählich gewählt werden. Dieser Winkel kann mit der Gleichung
∆vg= sin α*cos α *g*s: v, (2)
durch Differenzieren abgeleitet werden. Es gilt nach (2), wobei g*s.v = k
∆vg`= (sin α*cos α *k)`= k *[cos α*cos α + sin α* (-sin α)]= k* (cos² α- sin² α). (3)
Damit kann formuliert werden
0= k* (cos² α- sin² α). (4)
Nach Umformung der Gleichung (4) ergibt sich
sin² α = cos² α. (5) Damit ist
sin α= cos α (6)
Der Einschusswinkel in den Erdorbit muss ab einer Flughöhe von 45 000 km also optimaler Weise 45o betragen. Der von Sinus und Kosinus von 45o entspricht dem Wert von 0,707. Damit kann die Geschwindigkeitsreduktion durch die Erdgravitation exakt wie folgt berechnet werden:
∆vg = t1*g*+ 0,707* g*(t2+t3 ) = g*[t1+0,707 (t2+t3)] = 9,5 m/s²*[161+0,707*(559) = 5284 m/s≈ 5,3 km/s. (7)
Damit ergibt sich für die Startposition von Apollo 11 in Florida eine Gesamtbilanz von
13,4 km/s + 0,3 km/s - 5,3 km/s- 0,63 km/s =7,77 km/s. (8)
Mit dieser Geschwindigkeit von 7,77 km/s konnte Apollo 11 bis N niemals den Erdorbit erreichen! Siegfried Marquardt, Königs Wusterhausen |